MOPSO流れ解説
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開始行:
[[柴原]]
群知能（Swarm Intelligence：SI）とは、主に自然または芸術...
分散型システムである。群れは互いに局所的に、あるいは外部...
鳥の群れ、アリ、ハチなどである。連続非線形関数を最適化す...
によって導入された粒子群最適化（PSO）は、SIに新時代をもた...
は、最適化のための集団ベースの手法である。潜在的な解の集...
その中の個体を粒子と呼ぶ。
粒子は群れの中を飛び回り、自分自身や同じ群れの他の粒子の...
を探索する。PSOは多くの研究者の間で注目を集め始め、導入後...
手法となったが、単一の目的のみの最適化という制約があるた...
しかし、単一目的のみの最適化という制約があるため、新しい...
が導入された。MOPSOは
[129]によって提案された。MOPSOでは、単一の解ではなく、解...
パレート最適集合とも呼ばれる。多目的最適化(MOO)は、ベクト...
ベクトル最適化と呼ばれることもある。
と呼ばれることもある。多目的最適化問題（MOP）は、基本的に...
と非線形MOP、凸MOPと非凸MOPに分類される。すべての目的関数...
がすべて線形である場合、線形MOPと呼ばれるが、目的関数や制...
非線形MOPとなります。同様に、すべての目的関数が凸で、実行...
が凸であれば凸MOP、非凸MOPであればその逆となる。
今日まで
MOPSOの多くのバリエーションとアプリケーションが開発されて...
環境、産業、ジョブショップスケジューリング、工学、生物学...
MOPSOの全てのバリエーションとアプリケーションを1つの記事...
の研究は、MOPSOの応用とMOPSOの変種の2つの部分に分けられる...
この論文では、MOPSOのすべての応用分野を要約しようと試みた。
を提供することができる。本稿の残りの部分は以下のように構...
セクション2と3は、それぞれMOPと標準PSOの基本概念とアルゴ...
セクション4では、MOPSOのアルゴリズム、定式化、概念を示す...
セクション5では、MOPSOの応用分野別にサーベイを行う。セク...
を考察し、今後の方向性について述べ、結論を述べる。
MOP（多目的最適化問題）には、目的関数と通常いくつかの制約...
目的関数： 最小化または最大化
Minimize/Maximize fₙ(x), n = 1, 2, ..., N
制約条件：
不等式制約： gⱼ(x) ≤ 0, j = 1, 2, ..., J
等式制約： hₖ(x) = 0, k = 1, 2, ..., K
変数の境界制約： xᵢ(L) ≤ xᵢ ≤ xᵢ(U), i = 1, 2, ..., m
ここで、x は m 個の決定変数のベクトルで、x = (x₁, x₂, ......
MOP を解くためには、従来の手法や人工知能（AI）技術がよく...
2.1. 古典的な方法 古典的な方法は、嗜好情報の使用量が多い...
である： 加重合計法、制約法、加重計量法、ベンソンズ法、価...
関数法、ゴール・プログラミング法である。重み付き和法では...
加重和法では、各目的にユーザーが提供した重みをあらかじめ...
制約法は、非凸の目的空間を持つ問題を解く際に重み付き和法...
MOPを再定式化することにより、非凸の目的空間を持つ問題を解...
ユーザが指定した値の範囲内で残りの目的を制限する。重み付...
の加重和を用いる代わりに、lpやl1距離メトリックのような加...
そのため、加重メトリックは複数の目的を1つの目的にまとめる...
Bensons法は、参照解を実行可能な非平均最適解とすることを除...
ただし、参照解は実現可能な非平均最適解とする。価値関数法...
関数 U : RM ！Rの数学的価値関数U を提供する。この価値関数は
実現可能な探索空間全体にわたって有効でなければならない。...
を達成する解を求めるのに役立つ。
すべての目的関数において、あらかじめ指定された目標を達成...
すべての目的関数において事前に指定された目標を達成する解...
である。しかし、望ましい目標を達成する解が存在する場合、...
2.2. 進化的アルゴリズム EAに基づくアプローチは、基本的に...
タイプに分類される[40]： 集約関数、母集団ベースのアプロー...
集約関数は、任意の算術演算によって、すべての目的を1つの目...
により、すべての目的を1つの目的に統合するという概念を持つ...
母集団ベースのアプローチは、探索を多様化するためにEAの母...
uated Genetic Algorithm (VEGA)を発表した。
アプローチである。VEGAでは、各世代で比例選択により部分集...
母集団の総サイズがNで、目的の総数をnとすると、部分母集団...
N/nとなる。母集団ベースのアプローチは採用が簡単であるが、...
パレート最適性に基づいていないことである。パレートに基づ...
[63]. その後、多様性を維持し収束を避けるために、ニッチン...
50]によって提案された。パレートに基づくアプローチは最も一...
第一世代はtness sharing、ニッチングとパレートランキングを...
エリート主義の概念。
2.3. 粒子群最適化と進化アルゴリズムの比較。PSOはEA
とは、親の表現、個体の選択、パラメータチューニングのアプ...
8]に示されているように、パラメータチューニングのアプロー...
PSOでは親情報は各粒子内に含まれるのに対し、進化的最適化（...
最適化.
42 Trans. Comb. 2 no. 1 (2013) 39-101 S. Lalwani, S. Sing...
PSOは、EOのように処理から明示的な選択関数を関与させない。
PSOでは個体操作に指向性の高い突然変異操作を用いるが、EOで...
は全方位的である。
PSOには、速度ステップサイズを局所領域探索空間に適した値に...
一方、EOでは各個体の構成要素の変異の度合いを含む。
を含む。
異なる手法による異なる解は、異なる対象間で矛盾するシナリ...
の間で矛盾するシナリオを生み出す可能性がある。ある目的に...
となる。このため、ユーザーは1つの目的に対してのみ最適な解...
49]。MOOの主な目標は、最適解に近く、真の目的を表すのに十...
最適解に近く、最適解の真の広がりを表すのに十分な多様性を...
は、先に述べた両方の条件をより直接的に満たす。シンプルで...
とMOPSOの人気の高まりにより、単純な問題だけでなく、複雑な...
実問題を解決する能力を高めている。
### PSO（粒子群最適化）のアルゴリズム
PSO（Particle Swarm Optimization）は、進化的アルゴリズム...
---
#### 概要：
PSOでは、d次元の検索空間と、n個の粒子が存在します。それぞ...
- **位置** Xi = (x_i1, x_i2, ..., x_id)
- **速度** Vi = (v_i1, v_i2, ..., v_id)
- **個人最良位置** Pi = (p_i1, p_i2, ..., p_id) ：粒子自...
- **全体最良位置（グローバル最良）** gbest ：スウォーム全...
各粒子は、次の2つの目標を持って移動します：
1. **個人最良** Piとの距離を縮めること。
2. **グローバル最良** gbestとの距離を縮めること。
粒子は、現在の位置、速度、個人最良の位置 Pi、およびグロー...
---
#### 速度と位置の更新式：
- **速度更新式**：
V_i^(t+1) = wV_i^t + c1 * r1 * (P_i - X_i^t) + c2 * r2 * ...
ここで：
- V_i^t ： 時刻 t における粒子 i の速度
- X_i^t ： 時刻 t における粒子 i の位置
- P_i ： 粒子 i の個人最良位置
- gbest ： スウォーム全体の最良位置（グローバル最良）
- w ： 慣性重み（粒子の慣性を制御するパラメータ）
- c1, c2 ： 認知加速係数および社会的加速係数（それぞれ個...
- r1, r2 ： ランダムな値（0～1の範囲で生成され、探索にラ...
- **位置更新式**：
X_i^(t+1) = X_i^t + V_i^(t+1)
これは、粒子 i の位置を新しい速度に従って更新する式です。
---
#### パラメータ：
- **w** ： 慣性重み。粒子の「慣性」を調整します。小さな w...
- **c1** ： 認知加速係数。粒子が個人最良に従う強さを示し...
- **c2** ： 社会的加速係数。粒子がグローバル最良に従う強...
- **r1, r2** ： ランダムな値で、探索にランダム性を加えま...
---
#### 最適化問題の定式化：
PSOは通常、最小化問題に適用され、次のように定式化されます：
Minimize/Maximize f(x)
ただし、x = (x1, x2, ..., xm)^T は決定変数のベクトルであ...
x_i^(L) ≤ x_i ≤ x_i^(U), i = 1, 2, ..., m
ここで：
- x_i^(L) は変数 x_i の下限
- x_i^(U) は変数 x_i の上限
PSOアルゴリズムは、この最小化問題（または最大化問題）を解...
---
PSOは、探索空間内で粒子が自分自身とスウォーム全体の情報を...
---
MOPSOの速度更新と位置更新の式は、PSOの式(2)と式(3)と同じ...
と同じである。パラメータの宣言も目的関数以外はすべて同じ...
には、式(1)で定式化された複数の目的が含まれている。
アプローチとアプリケーションに基づく論文の分離は、以下の...
応用MOP問題を基本問題とし、それを解くために既に開発された...
を基本問題とし、それを解くために既に開発された変種を適用...
一方、その論文が、より応用的なMOP問題の開発に含まれていれ...
もしその論文が、より変種を開発することに含まれるなら、あ...
また、その論文に実世界の問題の例が続いている場合は、アプ...
新しく開発された変種のために、アプリケーションとアプロー...
両方において議論されることになっている。このセクションは...
図3に示す。2012年10月中旬までに発見されたMOPSOを用いた論...
であった。図3は、MOPSOの産業工学、電気工学、そしてその他...
図3は、MOPSOの産業工学、電気工学、その他の分野への幅広い...
終了行:
[[柴原]]
群知能（Swarm Intelligence：SI）とは、主に自然または芸術...
分散型システムである。群れは互いに局所的に、あるいは外部...
鳥の群れ、アリ、ハチなどである。連続非線形関数を最適化す...
によって導入された粒子群最適化（PSO）は、SIに新時代をもた...
は、最適化のための集団ベースの手法である。潜在的な解の集...
その中の個体を粒子と呼ぶ。
粒子は群れの中を飛び回り、自分自身や同じ群れの他の粒子の...
を探索する。PSOは多くの研究者の間で注目を集め始め、導入後...
手法となったが、単一の目的のみの最適化という制約があるた...
しかし、単一目的のみの最適化という制約があるため、新しい...
が導入された。MOPSOは
[129]によって提案された。MOPSOでは、単一の解ではなく、解...
パレート最適集合とも呼ばれる。多目的最適化(MOO)は、ベクト...
ベクトル最適化と呼ばれることもある。
と呼ばれることもある。多目的最適化問題（MOP）は、基本的に...
と非線形MOP、凸MOPと非凸MOPに分類される。すべての目的関数...
がすべて線形である場合、線形MOPと呼ばれるが、目的関数や制...
非線形MOPとなります。同様に、すべての目的関数が凸で、実行...
が凸であれば凸MOP、非凸MOPであればその逆となる。
今日まで
MOPSOの多くのバリエーションとアプリケーションが開発されて...
環境、産業、ジョブショップスケジューリング、工学、生物学...
MOPSOの全てのバリエーションとアプリケーションを1つの記事...
の研究は、MOPSOの応用とMOPSOの変種の2つの部分に分けられる...
この論文では、MOPSOのすべての応用分野を要約しようと試みた。
を提供することができる。本稿の残りの部分は以下のように構...
セクション2と3は、それぞれMOPと標準PSOの基本概念とアルゴ...
セクション4では、MOPSOのアルゴリズム、定式化、概念を示す...
セクション5では、MOPSOの応用分野別にサーベイを行う。セク...
を考察し、今後の方向性について述べ、結論を述べる。
MOP（多目的最適化問題）には、目的関数と通常いくつかの制約...
目的関数： 最小化または最大化
Minimize/Maximize fₙ(x), n = 1, 2, ..., N
制約条件：
不等式制約： gⱼ(x) ≤ 0, j = 1, 2, ..., J
等式制約： hₖ(x) = 0, k = 1, 2, ..., K
変数の境界制約： xᵢ(L) ≤ xᵢ ≤ xᵢ(U), i = 1, 2, ..., m
ここで、x は m 個の決定変数のベクトルで、x = (x₁, x₂, ......
MOP を解くためには、従来の手法や人工知能（AI）技術がよく...
2.1. 古典的な方法 古典的な方法は、嗜好情報の使用量が多い...
である： 加重合計法、制約法、加重計量法、ベンソンズ法、価...
関数法、ゴール・プログラミング法である。重み付き和法では...
加重和法では、各目的にユーザーが提供した重みをあらかじめ...
制約法は、非凸の目的空間を持つ問題を解く際に重み付き和法...
MOPを再定式化することにより、非凸の目的空間を持つ問題を解...
ユーザが指定した値の範囲内で残りの目的を制限する。重み付...
の加重和を用いる代わりに、lpやl1距離メトリックのような加...
そのため、加重メトリックは複数の目的を1つの目的にまとめる...
Bensons法は、参照解を実行可能な非平均最適解とすることを除...
ただし、参照解は実現可能な非平均最適解とする。価値関数法...
関数 U : RM ！Rの数学的価値関数U を提供する。この価値関数は
実現可能な探索空間全体にわたって有効でなければならない。...
を達成する解を求めるのに役立つ。
すべての目的関数において、あらかじめ指定された目標を達成...
すべての目的関数において事前に指定された目標を達成する解...
である。しかし、望ましい目標を達成する解が存在する場合、...
2.2. 進化的アルゴリズム EAに基づくアプローチは、基本的に...
タイプに分類される[40]： 集約関数、母集団ベースのアプロー...
集約関数は、任意の算術演算によって、すべての目的を1つの目...
により、すべての目的を1つの目的に統合するという概念を持つ...
母集団ベースのアプローチは、探索を多様化するためにEAの母...
uated Genetic Algorithm (VEGA)を発表した。
アプローチである。VEGAでは、各世代で比例選択により部分集...
母集団の総サイズがNで、目的の総数をnとすると、部分母集団...
N/nとなる。母集団ベースのアプローチは採用が簡単であるが、...
パレート最適性に基づいていないことである。パレートに基づ...
[63]. その後、多様性を維持し収束を避けるために、ニッチン...
50]によって提案された。パレートに基づくアプローチは最も一...
第一世代はtness sharing、ニッチングとパレートランキングを...
エリート主義の概念。
2.3. 粒子群最適化と進化アルゴリズムの比較。PSOはEA
とは、親の表現、個体の選択、パラメータチューニングのアプ...
8]に示されているように、パラメータチューニングのアプロー...
PSOでは親情報は各粒子内に含まれるのに対し、進化的最適化（...
最適化.
42 Trans. Comb. 2 no. 1 (2013) 39-101 S. Lalwani, S. Sing...
PSOは、EOのように処理から明示的な選択関数を関与させない。
PSOでは個体操作に指向性の高い突然変異操作を用いるが、EOで...
は全方位的である。
PSOには、速度ステップサイズを局所領域探索空間に適した値に...
一方、EOでは各個体の構成要素の変異の度合いを含む。
を含む。
異なる手法による異なる解は、異なる対象間で矛盾するシナリ...
の間で矛盾するシナリオを生み出す可能性がある。ある目的に...
となる。このため、ユーザーは1つの目的に対してのみ最適な解...
49]。MOOの主な目標は、最適解に近く、真の目的を表すのに十...
最適解に近く、最適解の真の広がりを表すのに十分な多様性を...
は、先に述べた両方の条件をより直接的に満たす。シンプルで...
とMOPSOの人気の高まりにより、単純な問題だけでなく、複雑な...
実問題を解決する能力を高めている。
### PSO（粒子群最適化）のアルゴリズム
PSO（Particle Swarm Optimization）は、進化的アルゴリズム...
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#### 概要：
PSOでは、d次元の検索空間と、n個の粒子が存在します。それぞ...
- **位置** Xi = (x_i1, x_i2, ..., x_id)
- **速度** Vi = (v_i1, v_i2, ..., v_id)
- **個人最良位置** Pi = (p_i1, p_i2, ..., p_id) ：粒子自...
- **全体最良位置（グローバル最良）** gbest ：スウォーム全...
各粒子は、次の2つの目標を持って移動します：
1. **個人最良** Piとの距離を縮めること。
2. **グローバル最良** gbestとの距離を縮めること。
粒子は、現在の位置、速度、個人最良の位置 Pi、およびグロー...
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#### 速度と位置の更新式：
- **速度更新式**：
V_i^(t+1) = wV_i^t + c1 * r1 * (P_i - X_i^t) + c2 * r2 * ...
ここで：
- V_i^t ： 時刻 t における粒子 i の速度
- X_i^t ： 時刻 t における粒子 i の位置
- P_i ： 粒子 i の個人最良位置
- gbest ： スウォーム全体の最良位置（グローバル最良）
- w ： 慣性重み（粒子の慣性を制御するパラメータ）
- c1, c2 ： 認知加速係数および社会的加速係数（それぞれ個...
- r1, r2 ： ランダムな値（0～1の範囲で生成され、探索にラ...
- **位置更新式**：
X_i^(t+1) = X_i^t + V_i^(t+1)
これは、粒子 i の位置を新しい速度に従って更新する式です。
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#### パラメータ：
- **w** ： 慣性重み。粒子の「慣性」を調整します。小さな w...
- **c1** ： 認知加速係数。粒子が個人最良に従う強さを示し...
- **c2** ： 社会的加速係数。粒子がグローバル最良に従う強...
- **r1, r2** ： ランダムな値で、探索にランダム性を加えま...
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#### 最適化問題の定式化：
PSOは通常、最小化問題に適用され、次のように定式化されます：
Minimize/Maximize f(x)
ただし、x = (x1, x2, ..., xm)^T は決定変数のベクトルであ...
x_i^(L) ≤ x_i ≤ x_i^(U), i = 1, 2, ..., m
ここで：
- x_i^(L) は変数 x_i の下限
- x_i^(U) は変数 x_i の上限
PSOアルゴリズムは、この最小化問題（または最大化問題）を解...
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PSOは、探索空間内で粒子が自分自身とスウォーム全体の情報を...
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MOPSOの速度更新と位置更新の式は、PSOの式(2)と式(3)と同じ...
と同じである。パラメータの宣言も目的関数以外はすべて同じ...
には、式(1)で定式化された複数の目的が含まれている。
アプローチとアプリケーションに基づく論文の分離は、以下の...
応用MOP問題を基本問題とし、それを解くために既に開発された...
を基本問題とし、それを解くために既に開発された変種を適用...
一方、その論文が、より応用的なMOP問題の開発に含まれていれ...
もしその論文が、より変種を開発することに含まれるなら、あ...
また、その論文に実世界の問題の例が続いている場合は、アプ...
新しく開発された変種のために、アプリケーションとアプロー...
両方において議論されることになっている。このセクションは...
図3に示す。2012年10月中旬までに発見されたMOPSOを用いた論...
であった。図3は、MOPSOの産業工学、電気工学、そしてその他...
図3は、MOPSOの産業工学、電気工学、その他の分野への幅広い...
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