Continuous Swarm Optimization Technique解説
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開始行:
[[中山]]
PSO（Particle Swarm Optimization）技術は、自然界の群れ行...
各粒子の位置は候補解を示しており、時間ごとに各粒子は自分...
各粒子は、自分の自己ベストを保持しており、他の粒子からの...
1. 社会的要素：グローバルベストに向かって引っ張る成分
2. 認知的要素：自己ベストに向かって引っ張る成分
各粒子の速度は、以下の3つの成分から構成されています：
- モーメント成分（現在の移動方向を維持しようとする）
- 自己ベストへの成分
- グローバルベストへの成分
PSOの更新方程式は次のように表されます：
速度の更新：
v_i(k+1) = α_d * v_i(k) + β_d * (x_lbi - x_i(k)) + γ_d * ...
位置の更新：
x_i(k+1) = x_i(k) + v_i(k+1)
ここで、
- x_i は粒子の位置
- v_i は速度
- x_lbi はその粒子の自己ベスト
- x_gb は群れ全体のグローバルベスト
- α_d, β_d, γ_d は正の定数
基本的なPSOアルゴリズムは離散時間の性質を持ち、各粒子は単...
問題の次元を d、実行可能領域を Ω ⊆ ℝ^d、鳥の数を n、最小...
このようにして、PSOは群れの知識を活用し、最適解に向かって...
PSO（Particle Swarm Optimization）の新しい表現を理解する...
位置行列 X:
X = [ x_1 ⋮ x_n ] ∈ (Ω × ℝ^n)
これは全ての粒子の位置を含む行列です。
速度行列 V:
V = [ v_1 ⋮ v_n ] ∈ (ℝ^d × ℝ^n)
これは全ての粒子の速度を含む行列です。
自己ベスト位置行列 X_lb:
X_lb = [ x_lb1 ⋮ x_lbn ] ∈ (Ω × ℝ^n)
各粒子の自己ベスト位置を保持します。
グローバルベスト位置 X_gb:
X_gb ∈ ℝ^d
これは群れ全体の最良の位置を示します。
目的関数ベクトル F:
F = [ f(x_1) ⋮ f(x_n) ] : (Ω × ℝ^n) → ℝ^n
各粒子の位置に対する目的関数の値を保持します。
ベクトル T:
T ∈ ℝ^d
全ての要素が1で構成される行ベクトルです。
ベクトル Q_i:
Q_i ∈ ℝ^n
すべての要素が0で、i番目の要素のみが1の列ベクトルです。
単位行列 I_n:
I_n ∈ (ℝ^n × ℝ^n)
サイズnの単位行列です。
これらの定義を用いて、PSOアルゴリズムの更新式は次のように...
速度の更新:
V(k+1) = α_d * V(k) + β_d * (X_lb(k) - X(k)) + γ_d * (X_g...
位置の更新:
X(k+1) = X(k) + V(k+1)
自己ベストの更新:
X_lb(k+1) = 1/2 * (X(k+1) + X_lb(k))
自己ベストの改善:
X_lb(k+1) = X_lb(k) + [X(k+1) - X_lb(k)] * ζ
ここで、ζは次のように定義されます：
ζ = diag[sgn(F(X_lb(k)) - F(X(k+1)))]
このdiag[y]は、ベクトルyの要素を対角成分とする対角行列で...
sgn(y) = { 1, y ≥ 0; -1, y < 0 }
これにより、PSOアルゴリズムの全体的なフレームワークが整い...
この部分は、PSO（Particle Swarm Optimization）アルゴリズ...
自己ベスト位置の更新
自己ベスト位置 X_lb(k+1) は、次のように更新されます：
X_lb(k+1) = X_lb(k) + [X(k+1) - X_lb(k)] * ζ
ここで、ζ は以下のように定義されます：
ζ = diag[sgn(F(X_lb(k)) - F(X(k+1)))]
各要素の解説
自己ベストの更新式:
X_lb(k+1) は、前の自己ベスト X_lb(k) に新しい位置 X(k+1) ...
ζ の定義:
ζ は対角行列で、各対角要素は次のように定義される符号関数 ...
符号関数 sgn(y) は、次のように定義されます：
sgn(y) = { 1, if y ≥ 0; -1, if y < 0 }
つまり、F(X_lb(k))（自己ベスト位置での目的関数の値）と F(...
更新の意義:
ζ が1の場合、その位置は改善されているため、自己ベストが更...
まとめ:
この更新メカニズムは、粒子が探索する際に過去の良い経験を...
この部分では、PSO（Particle Swarm Optimization）の連続時...
連続時間モデルの必要性
- 自然界のスワーム: 自然の群れは連続的に動いており、固定...
- 離散化の影響: 離散時間モデルには不安定化の影響があり、...
連続時間モデルの方程式
連続時間モデルでは、次のように位置と速度の方程式が表され...
速度の方程式:
V = −αV + β(X_lb − X) + γ(X_gb * T − X)
位置の方程式:
X = V
ここで、
X、V、X_lb、X_gb、T の次元は、離散モデルと同じです。また...
状態の扱い
- 自己ベスト位置 X_lb: これは単なる位置情報ではなく、「メ...
- 状態モデルの視点: X_lb は追加の状態とみなされ、その時間...
状態の進化の近似
自己ベスト位置の進化を近似するために、次のような方程式が...
xlbi = a(xi − xlbi) + a(xi − xlbi) * [sgn(f(xlbi) − f(xi))]
この方程式は行列形式で表現できます：
X_lb = a(X − X_lb) * [I_n + diag[sgn(F(X_lb) − F(X))]]
解説
- xlbi: これは粒子 i の自己ベスト位置の進化を示しています...
- 行列形式: 上記の行列形式では、状態の変化がスムーズに表...
まとめ
このアプローチにより、PSOの連続時間モデルが提案され、自然...
この部分では、連続時間PSOモデルにおける自己ベスト位置とグ...
**Remark 1: 自己ベスト位置の更新** [#n72257a8]
方程式 (10) を用いて、自己ベスト位置 x_lbi の更新の2つの...
**場合1:** [#ufc663b2]
f(x_lbi) − f(xi) ≥ 0
この場合、sgn(f(x_lbi) − f(xi)) = 1 となります。
更新式は次のようになります：
x_lbi = 2a(xi − x_lbi)
これは、現在の位置での目的関数の値が自己ベスト位置での値...
**場合2:** [#eb666567]
f(x_lbi) − f(xi) < 0
この場合、sgn(f(x_lbi) − f(xi)) = −1 となります。
更新式は次のようになります：
x_lbi = 0
これは、自己ベスト位置での目的関数の値が現在の位置での値...
**Remark 2: 自己ベスト位置の特性** [#lf8b76d7]
X_lb は必ずしも真のローカルベストではなく、近似に過ぎませ...
**グローバルベスト位置の定義** [#h092a7ce]
グローバルベスト位置 X_gb は次のように定義されます：
X_gb = X_lb Q_j where j = arg inf 0 < i ≤ n (f(x_lbi))
ここで、Q_j は自己ベスト位置の中で最も目的関数の値が小さ...
X_gb は、システムの観点から見るとセットポイントとして考え...
**定義3: 連続時間スワームの動的システム** [#hdfe08f9]
最終的に、次のような動的システム Σ が定義されます：
**位置の方程式:** [#hbb6e095]
X = V
**速度の方程式:** [#w548e842]
V = −αV + β(X_lb − X) + γ(X_gb * T − X)
**自己ベスト位置の更新:** [#j4cca630]
X_lb = a(X − X_lb) [I_n + diag[sgn(F(X_lb) − F(X))]]
**グローバルベスト位置の定義:** [#mfc1f0a2]
X_gb = X_lb Q_j where j = arg inf 0 < i ≤ n (f(x_lbi))
**まとめ** [#j15bcc3e]
このモデルにより、PSOの連続時間アプローチが具体化され、自...
この部分では、PSO（Particle Swarm Optimization）の連続時...
**動的システムの定義 Σ** [#oe2e1f7b]
PSOの連続時間モデルは、次の4つの方程式から構成されていま...
**位置の方程式:** [#aeccad91]
X = V
ここで、X は粒子の位置を表し、速度 V に等しいことを示しま...
**速度の方程式:** [#a7b7e649]
V = −αV + β(X_lb − X) + γ(X_gb * T − X)
この方程式では、粒子の速度 V がいくつかの要因によって決定...
- **摩擦項:** −αV は、粒子の速度を減少させる摩擦のような...
- **自己ベストへの引力:** β(X_lb − X) は、粒子が自己ベス...
- **グローバルベストへの引力:** γ(X_gb * T − X) は、群れ...
これにより、粒子は自己ベストやグローバルベストに向かって...
**自己ベスト位置の更新:** [#ed0f59b1]
X_lb = a(X − X_lb) [I_n + diag[sgn(F(X_lb) − F(X))]]
この式は、自己ベスト位置 X_lb を更新するためのものです。
- **変化量:** a(X − X_lb) は、現在の位置 X と自己ベスト位...
- **状態の変化:** diag[sgn(F(X_lb) − F(X))] は、目的関数...
もし現在の位置での目的関数の値が自己ベストより小さい場合...
**グローバルベスト位置の定義:** [#l00bd0c7]
X_gb = X_lb Q_j where j = arg inf 0 < i ≤ n (f(x_lbi))
X_gb は、グローバルベスト位置を示します。これは、群れの中...
Q_j は、自己ベスト位置の中で最も目的関数の値が小さいイン...
**まとめ** [#z514c6ba]
この動的システムは、PSOの連続時間モデルを構成し、粒子の動...
終了行:
[[中山]]
PSO（Particle Swarm Optimization）技術は、自然界の群れ行...
各粒子の位置は候補解を示しており、時間ごとに各粒子は自分...
各粒子は、自分の自己ベストを保持しており、他の粒子からの...
1. 社会的要素：グローバルベストに向かって引っ張る成分
2. 認知的要素：自己ベストに向かって引っ張る成分
各粒子の速度は、以下の3つの成分から構成されています：
- モーメント成分（現在の移動方向を維持しようとする）
- 自己ベストへの成分
- グローバルベストへの成分
PSOの更新方程式は次のように表されます：
速度の更新：
v_i(k+1) = α_d * v_i(k) + β_d * (x_lbi - x_i(k)) + γ_d * ...
位置の更新：
x_i(k+1) = x_i(k) + v_i(k+1)
ここで、
- x_i は粒子の位置
- v_i は速度
- x_lbi はその粒子の自己ベスト
- x_gb は群れ全体のグローバルベスト
- α_d, β_d, γ_d は正の定数
基本的なPSOアルゴリズムは離散時間の性質を持ち、各粒子は単...
問題の次元を d、実行可能領域を Ω ⊆ ℝ^d、鳥の数を n、最小...
このようにして、PSOは群れの知識を活用し、最適解に向かって...
PSO（Particle Swarm Optimization）の新しい表現を理解する...
位置行列 X:
X = [ x_1 ⋮ x_n ] ∈ (Ω × ℝ^n)
これは全ての粒子の位置を含む行列です。
速度行列 V:
V = [ v_1 ⋮ v_n ] ∈ (ℝ^d × ℝ^n)
これは全ての粒子の速度を含む行列です。
自己ベスト位置行列 X_lb:
X_lb = [ x_lb1 ⋮ x_lbn ] ∈ (Ω × ℝ^n)
各粒子の自己ベスト位置を保持します。
グローバルベスト位置 X_gb:
X_gb ∈ ℝ^d
これは群れ全体の最良の位置を示します。
目的関数ベクトル F:
F = [ f(x_1) ⋮ f(x_n) ] : (Ω × ℝ^n) → ℝ^n
各粒子の位置に対する目的関数の値を保持します。
ベクトル T:
T ∈ ℝ^d
全ての要素が1で構成される行ベクトルです。
ベクトル Q_i:
Q_i ∈ ℝ^n
すべての要素が0で、i番目の要素のみが1の列ベクトルです。
単位行列 I_n:
I_n ∈ (ℝ^n × ℝ^n)
サイズnの単位行列です。
これらの定義を用いて、PSOアルゴリズムの更新式は次のように...
速度の更新:
V(k+1) = α_d * V(k) + β_d * (X_lb(k) - X(k)) + γ_d * (X_g...
位置の更新:
X(k+1) = X(k) + V(k+1)
自己ベストの更新:
X_lb(k+1) = 1/2 * (X(k+1) + X_lb(k))
自己ベストの改善:
X_lb(k+1) = X_lb(k) + [X(k+1) - X_lb(k)] * ζ
ここで、ζは次のように定義されます：
ζ = diag[sgn(F(X_lb(k)) - F(X(k+1)))]
このdiag[y]は、ベクトルyの要素を対角成分とする対角行列で...
sgn(y) = { 1, y ≥ 0; -1, y < 0 }
これにより、PSOアルゴリズムの全体的なフレームワークが整い...
この部分は、PSO（Particle Swarm Optimization）アルゴリズ...
自己ベスト位置の更新
自己ベスト位置 X_lb(k+1) は、次のように更新されます：
X_lb(k+1) = X_lb(k) + [X(k+1) - X_lb(k)] * ζ
ここで、ζ は以下のように定義されます：
ζ = diag[sgn(F(X_lb(k)) - F(X(k+1)))]
各要素の解説
自己ベストの更新式:
X_lb(k+1) は、前の自己ベスト X_lb(k) に新しい位置 X(k+1) ...
ζ の定義:
ζ は対角行列で、各対角要素は次のように定義される符号関数 ...
符号関数 sgn(y) は、次のように定義されます：
sgn(y) = { 1, if y ≥ 0; -1, if y < 0 }
つまり、F(X_lb(k))（自己ベスト位置での目的関数の値）と F(...
更新の意義:
ζ が1の場合、その位置は改善されているため、自己ベストが更...
まとめ:
この更新メカニズムは、粒子が探索する際に過去の良い経験を...
この部分では、PSO（Particle Swarm Optimization）の連続時...
連続時間モデルの必要性
- 自然界のスワーム: 自然の群れは連続的に動いており、固定...
- 離散化の影響: 離散時間モデルには不安定化の影響があり、...
連続時間モデルの方程式
連続時間モデルでは、次のように位置と速度の方程式が表され...
速度の方程式:
V = −αV + β(X_lb − X) + γ(X_gb * T − X)
位置の方程式:
X = V
ここで、
X、V、X_lb、X_gb、T の次元は、離散モデルと同じです。また...
状態の扱い
- 自己ベスト位置 X_lb: これは単なる位置情報ではなく、「メ...
- 状態モデルの視点: X_lb は追加の状態とみなされ、その時間...
状態の進化の近似
自己ベスト位置の進化を近似するために、次のような方程式が...
xlbi = a(xi − xlbi) + a(xi − xlbi) * [sgn(f(xlbi) − f(xi))]
この方程式は行列形式で表現できます：
X_lb = a(X − X_lb) * [I_n + diag[sgn(F(X_lb) − F(X))]]
解説
- xlbi: これは粒子 i の自己ベスト位置の進化を示しています...
- 行列形式: 上記の行列形式では、状態の変化がスムーズに表...
まとめ
このアプローチにより、PSOの連続時間モデルが提案され、自然...
この部分では、連続時間PSOモデルにおける自己ベスト位置とグ...
**Remark 1: 自己ベスト位置の更新** [#n72257a8]
方程式 (10) を用いて、自己ベスト位置 x_lbi の更新の2つの...
**場合1:** [#ufc663b2]
f(x_lbi) − f(xi) ≥ 0
この場合、sgn(f(x_lbi) − f(xi)) = 1 となります。
更新式は次のようになります：
x_lbi = 2a(xi − x_lbi)
これは、現在の位置での目的関数の値が自己ベスト位置での値...
**場合2:** [#eb666567]
f(x_lbi) − f(xi) < 0
この場合、sgn(f(x_lbi) − f(xi)) = −1 となります。
更新式は次のようになります：
x_lbi = 0
これは、自己ベスト位置での目的関数の値が現在の位置での値...
**Remark 2: 自己ベスト位置の特性** [#lf8b76d7]
X_lb は必ずしも真のローカルベストではなく、近似に過ぎませ...
**グローバルベスト位置の定義** [#h092a7ce]
グローバルベスト位置 X_gb は次のように定義されます：
X_gb = X_lb Q_j where j = arg inf 0 < i ≤ n (f(x_lbi))
ここで、Q_j は自己ベスト位置の中で最も目的関数の値が小さ...
X_gb は、システムの観点から見るとセットポイントとして考え...
**定義3: 連続時間スワームの動的システム** [#hdfe08f9]
最終的に、次のような動的システム Σ が定義されます：
**位置の方程式:** [#hbb6e095]
X = V
**速度の方程式:** [#w548e842]
V = −αV + β(X_lb − X) + γ(X_gb * T − X)
**自己ベスト位置の更新:** [#j4cca630]
X_lb = a(X − X_lb) [I_n + diag[sgn(F(X_lb) − F(X))]]
**グローバルベスト位置の定義:** [#mfc1f0a2]
X_gb = X_lb Q_j where j = arg inf 0 < i ≤ n (f(x_lbi))
**まとめ** [#j15bcc3e]
このモデルにより、PSOの連続時間アプローチが具体化され、自...
この部分では、PSO（Particle Swarm Optimization）の連続時...
**動的システムの定義 Σ** [#oe2e1f7b]
PSOの連続時間モデルは、次の4つの方程式から構成されていま...
**位置の方程式:** [#aeccad91]
X = V
ここで、X は粒子の位置を表し、速度 V に等しいことを示しま...
**速度の方程式:** [#a7b7e649]
V = −αV + β(X_lb − X) + γ(X_gb * T − X)
この方程式では、粒子の速度 V がいくつかの要因によって決定...
- **摩擦項:** −αV は、粒子の速度を減少させる摩擦のような...
- **自己ベストへの引力:** β(X_lb − X) は、粒子が自己ベス...
- **グローバルベストへの引力:** γ(X_gb * T − X) は、群れ...
これにより、粒子は自己ベストやグローバルベストに向かって...
**自己ベスト位置の更新:** [#ed0f59b1]
X_lb = a(X − X_lb) [I_n + diag[sgn(F(X_lb) − F(X))]]
この式は、自己ベスト位置 X_lb を更新するためのものです。
- **変化量:** a(X − X_lb) は、現在の位置 X と自己ベスト位...
- **状態の変化:** diag[sgn(F(X_lb) − F(X))] は、目的関数...
もし現在の位置での目的関数の値が自己ベストより小さい場合...
**グローバルベスト位置の定義:** [#l00bd0c7]
X_gb = X_lb Q_j where j = arg inf 0 < i ≤ n (f(x_lbi))
X_gb は、グローバルベスト位置を示します。これは、群れの中...
Q_j は、自己ベスト位置の中で最も目的関数の値が小さいイン...
**まとめ** [#z514c6ba]
この動的システムは、PSOの連続時間モデルを構成し、粒子の動...
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