\documentclass{scrartcl}
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\justifying

\begin{document}
データセットから$x_i$と$y_i$を参照サンプルの値とするサンプル$\alpha$を考える。このとき、データ間の誤差を次の式で求めることができる。
%Consider sample $\alpha$ from a dataset where $x_i$ and $y_i$ are the values of the referred sample. Then, one can find the error among the data using the following expression:
\begin{equation*}
e_\alpha = f_\alpha(\textbf{A},\textbf{M},\textbf{\textit{v}})= (\textbf{A}^T\textbf{M}\textbf{\textit{v}} - \textbf{A}^T\textbf{M}\textbf{A}\textbf{\textit{z}})_\alpha
\end{equation*}
ここで $()_\alpha$ は $alpha$ 行の値の選択を表す。したがって、すべての誤差関数の総和は、残差の絶対値の総和を最小化する重回帰モデルを用いて、$E = \displaystyle\sum_{\alpha} |e_\alpha|$ で与えられる。以下は、上の等式の最適化問題である。
%where $()_\alpha$ denotes the selection of the $\alpha^{th}$ row value. Hence the sum of all error functions is given by $E = \displaystyle\sum_{\alpha} |e_\alpha|$ using a multiple linear regression model, which minimizes the sum of the absolute values of the residuals. Following is the optimization problem of the equality above.

\textbf{線形計画法によるシャプレー値}
%\textbf{Shapley value in Linear Programming Form} 
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& {\text{minimize}}
& & \mathrm{\epsilon} \\
& \text{subject to}
& & A^TM \textit{v}+ s^+ - s^- = A^TMA\textit{z} \\
&&& \displaystyle\sum_{c\in S}{z_{\alpha}(S,v)}}{=v(S)\\
&&& 0 \leq s^{+}\leq \epsilon,\; 0 \leq s^{-} \leq \epsilon\\ 
\end{aligned}
\end{equation*}
%\begin{mini*}|l|
%  {}{\epsilon}
%  {}{}
%  \addConstraint{\textbf{A}^T\textbf{M}\textbf{\textit{v}}{+ s^+} {- s^-}}{=\textbf{A}^T\textbf{M}\textbf{A}\textbf{\textit{z}}}
%  \addConstraint{\displaystyle\sum_{c\in S}{z_{\alpha}(S,v)}}{=v(S)}
%  \addConstraint{0\geq s^{+}}{\geq \epsilon,\quad}{0\geq s^{-}}{\geq \epsilon}
% \end{mini*}
ここで $s^+ = [s_1^{+},s_2^{+},\cdots,s_n^{+}]^T$ と $s^- = [s_1^{-},s_2^{-},\cdots,s_n^{-}]^T$ はスラック変数とサープラス変数の集合を表し、 $\textbf{A}$ は超加法性の性質を持つ行列は超加法性を持つ行列、$\textbf{\textit{v}}$は$\textbf{\textit{v}}(S)$の実数値を要素とする列行列、$\textbf{M}$は以下の式で得られる対角線行列である。
%where $s^+ = [s_1^{+},s_2^{+},\cdots,s_n^{+}]^T$ and $s^- = [s_1^{-},s_2^{-},\cdots,s_n^{-}]^T$ represent the set of slack and surplus variables; $\textbf{A}$ is a matrix that observes the superadditivity property; $\textbf{\textit{v}}$ is a column matrix whose elements are real values of $\textbf{\textit{v}}(S)$ and M a diagonal matrix obtained through the following expression:
\[
 M_{n,s} =\frac{1}{n - 2} \binom{n -2}{s - 1}^{-1}
\]
%\begin{equation}
%%M_{n,s}=
%\frac{1}{n - 1}
%%\binom{n - 2}{s -1}
%
%\end{equation}
ここで、\textit{n}はプレイヤーの数を表し、\textit{s}は集合$S$における連合のカーディナリティを表する。
%where, \textit{n} - number of players, and \textit{s} - cardinality of any coalition in set $S$.

\textbf{二次形式のシャプレー値}
%Model 1 (\textbf{Shapley value in Quadratic Form})
%\textbf{Shapley value in Quadratic Form}
\begin{equation*}
\begin{aligned}
& {\text{minimize}}
& & \displaystyle\sum_{s \subset N}\big( v(S) - x(S) \big) ^2m(s) \\
& \text{subject to}
&& \displaystyle\sum_{i \in N}{x_i}{=v(N)}\\
&&& x_i \geq v(i),\; (\forall \;i \in N) 
\end{aligned}
\end{equation*}
ここで、$m(s)=M$は重み関数であり、$x$は任意の連合$S$に対する$x(S) = \displaystyle\sum_{i \in S} x_i$のペイオフ・ベクトルである。二次プログラムの最適解は、個人とグループの合理性を制約条件として、シャプレー値を表す。
%where, $m(s) = M$ is the weight function; $x$ a payoff vector with $x(S) = \displaystyle\sum_{i \in S} x_i$ for any coalition $S$. The optimal solutions of the quadratic program represent the Shapley values with individual and group rationalities as constraints.

\end{document}