%\title{LaTeX Portrait Poster Template}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% a0poster Portrait Poster
% LaTeX Template
% Version 1.0 (22/06/13)
%
% The a0poster class was created by:
% Gerlinde Kettl and Matthias Weiser (tex@kettl.de)
% 
% This template has been downloaded from:
% http://www.LaTeXTemplates.com
%
% License:
% CC BY-NC-SA 3.0 (http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/)
%
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%

%----------------------------------------------------------------------------------------
%	PACKAGES AND OTHER DOCUMENT CONFIGURATIONS
%----------------------------------------------------------------------------------------

\documentclass[a1,portrait]{a0poster}

\usepackage{multicol} % This is so we can have multiple columns of text side-by-side
\columnsep=50pt % This is the amount of white space between the columns in the poster
\columnseprule=3pt % This is the thickness of the black line between the columns in the poster

\usepackage[svgnames]{xcolor} % Specify colors by their 'svgnames', for a full list of all colors available see here: http://www.latextemplates.com/svgnames-colors

\usepackage{times} % Use the times font
%\usepackage{palatino} % Uncomment to use the Palatino font

\usepackage[dvipdfmx]{graphicx}
\graphicspath{{figures/}} % Location of the graphics files
\usepackage{booktabs} % Top and bottom rules for table
\usepackage[font=small,labelfont=bf]{caption} % Required for specifying captions to tables and figures
\usepackage{amsfonts, amsmath, amsthm, amssymb} % For math fonts, symbols and environments
\usepackage{wrapfig} % Allows wrapping text around tables and figures
\usepackage{geometry} 
\geometry{left=15mm,right=15mm,top=15mm,bottom=15mm}
\renewcommand\labelenumi{{[\arabic{enumi}]}}

\begin{document}
%\begin{normalsize}
%\begin{footnotesize}
\begin{small}

  %----------------------------------------------------------------------------------------
  %	POSTER HEADER 
  %----------------------------------------------------------------------------------------

  % The header is divided into two boxes:
  % The first is 75% wide and houses the title, subtitle, names, university/organization and contact information
  % The second is 25% wide and houses a logo for your university/organization or a photo of you
  % The widths of these boxes can be easily edited to accommodate your content as you see fit

  \begin{minipage}[H]{0.23\linewidth}
    \vspace{-1cm}
    \hspace{-1cm}
    \includegraphics[width=13cm,height=8.5cm]{Figure/TPU_rogo2.png}
  \end{minipage}
  %\hspace{18cm}
  \begin{minipage}[h]{0.9\linewidth}
    \LARGE \color{Navy} \textbf{レジリエンスな生産計画のためのリスク評価指標の\\ Shapley値による配分}

    %\begin{flushright}
    \color{Black}% Title
    \vspace{5mm}
    \hspace{38mm}
    \Large \textbf{1815029}\hspace{5mm}
    \Large \textbf{川口 晏璃}\hspace{10mm} % Author(s)
    \large \textbf{電子・情報工学科}\hspace{8mm}
    \large \textbf{指導教員 Antonio Oliveira Nzinga Rene}\\[0.4cm]
    %\end{flushright}
    % University/organization富山県立大学工学部電子・情報工学科

  \end{minipage}
  %\Huge\textit{Country Update}\\[2.4cm] % Subtitle

  %\begin{minipage}[h]{0.2\linewidth}
  %\includegraphics[width=10cm]{./Figure/class.JPG}\ 
  %\includegraphics[width=14cm]{Figure/TPU_rogo.png}\\
  %\end{minipage}

  \vspace{-2mm} % A bit of extra whitespace between the header and poster content

  %----------------------------------------------------------------------------------------

  \begin{multicols}{3} % This is how many columns your poster will be broken into, a portrait poster is generally split into 2 columns

    %----------------------------------------------------------------------------------------
    %	ABSTRACT
    %----------------------------------------------------------------------------------------

    %\color{Navy} % Navy color for the abstract

    %----------------------------------------------------------------------------------------
    %	INTRODUCTION
    %----------------------------------------------------------------------------------------
    \color{Black} % SaddleBrown color for the introduction

    ------------------------------
    \vspace{5mm}
    {\large{\bf {要約}}}
    ------------------------------
    \bfseries {

      \vspace{150mm}}

    %①その論文で論じるテーマ、もしくは扱う問題の説明(具体例を挙げて)
    %②従来の研究が不十分・間違っているという根拠
    %③従来の研究に代わる筆者の分析・主張
    %④筆者の分析・主張を支える根拠・証拠・具体例
    %建築現場における日程計画を不確定性・不確実性を考慮した上で多目的最適化する.
    %少子高齢化による労働人口の減少で仕事における作業効率が求められるなか,特に人手不足が深刻な職業が建設躯体工事の職業や建築・土木・測量技術者などの建設・土木工事関係の職業である.
    %人手不足を補うためには,計画的に効率良く作業を進めるための的確なスケジュールを作成する必要がある.
    %しかし、建築現場におけるスケジュール管理は非常に難しく,天災,労災や事故などが原因で工程の変更や作業の中止が起こることがある.
    %よって,もし、トラブルで作業が遅れてしまっても,工期に間に合わせることができるように,余裕をもった工程計画を考えなければならない.そこで,本研究では,この余裕を見積もることを重視し,更に,管理者が多目的に日程を調整できるスケジューリングシステムを考える.
    %従来の建築現場における工程計画では作業員の熟練度や天候などの不確定で不確実な要素を考慮し,管理者の目的に合わせた日程計画を見積もるには不十分である.
    %そこで,本研究では,作業員や天候などの不確定で不確実な要素を考慮する上で,ファジィランダムの概念を導入し,用いる要素の曖昧さを表現した.これにより,不確定で不確実な要素を考慮しつつ,資源の無駄を抑え,余裕をもった工程を提案している.
    \vspace{-2mm}
    \begin{flushleft}
      %\begin{footnotesize}
      \bfseries {キーワード：\\ \vspace{1mm}生産計画，レジリエンス，リスク評価指標，VaR，Shapley値}
      %\end{footnotesize}
    \end{flushleft}

    \vspace{-1mm}
    ------------------------
    {\large{\bf {1\ \ はじめに}}}
    \vspace{3mm}
    ------------------------
    \bfseries {

      \vspace{150mm}}


    %\begin{center}
    %\begin{minipage}[h]{0.99\linewidth}
    %\includegraphics[width=17cm]{Figure/zu1.png}
    %\end{minipage}
    %\end{center}
    %\begin{center}
    %図$1$\ \ 研究背景
    %\end{center}

    %現在,少子高齢化による労働者人口の減少は1つの社会的課題となっている.国立社会保障・人口問題研究所の調査で,2030年には,人口の1/3近くが65歳以上の高齢者になると推計されている.そして,このまま対策がないと,GDPの減少は避けられない[1].

    %この問題では,限られた資源で最大の利益を得ることが求められる.対策として,AIの導入や出生率の増加政策などが挙げられるが,今回は対策の一つとして考えられる「最適な人員・費用追加による生産性の向上」に着目した.

    %また,少子高齢化による労働人口の減少で生産性の向上や作業効率の向上が注目されるなか,建設・土木工事でも,「経済性」「迅速性」「確実性」という,3つの要素間の適切なバランスをとりあげた工程計画の研究が非常に重要になってきている.家づくりは長い期間をかけて行うため,進むほどに後戻りが難しくなるため,最初に全体の大まかな流れをつかんでおくことが大切だ[2].

    %本研究では建設現場における生産性の向上を目的とし,人員・費用の無駄のない投入を補助するための建設日程計画を求めることを目指す.

    %しかし,作業の所要時間や費用は「作業員の熟練度」や「天気」によって変動する曖昧性を含む要素である.そこで,本研究では,この不確定で不確実な要素も考慮した日程計画の導出を行う.


    %本研究の目的は,不確定性・不確実性を考慮した多目的日程計画最適化のモデルを考え,効果的な人員や費用の追加を補助することができる日程計画を作成することにより,生産性の増加を目指すことである.研究の背景と目的をまとめたものを図1に示す.

    %\begin{center}
    %\begin{minipage}[h]{0.95\linewidth}
    %\includegraphics[width=17.5cm]{Figure/nagare2.png}
    %\end{minipage}
    %\end{center}
    %\vspace{5mm}

    \bfseries {

      \vspace{150mm}}

    \begin{center}
      \begin{minipage}[h]{0.99\linewidth}
        \includegraphics[width=18cm]{Figure/6.png}
      \end{minipage}
    \end{center}
    \begin{center}
      図$1$\ \ アンビエントコンピューティングについて
    \end{center}

    {\large{\bf {2\ \ リスク対応可能な生産計画}}}


    %----------------------------
    \vspace{5mm}
    {\normalsize{\bf {2.1\ \ 生産計画とレジリエンス}}}
    \vspace{2mm}
    %----------------------------
    \bfseries{

      生産計画は「生産量と生産時期に関する計画」である．

      商品の品切れや過剰在庫は会社の経営に直結するため、生産計画は重要である．

      製品在庫を多めにもつことには、さまざまなメリットがありますが、その反面、収益悪化のリスク、在庫維持費用の増加、キャッシュフローの減少といった普段はあまり気づかない悪影響もあります。

      在庫切れのデメリット

      レジリエンス（resilience）とは、「回復力」「弾性（しなやかさ）」を意味する英単語です。「レジリエントな」と形容される人物は、困難な問題、危機的な状況、ストレスといった要素に遭遇しても、すぐに立ち直ることができます。もともとは物体の弾性を表す言葉

      製造業におけるレジリエンスは，サプライチェーンの寸断に対する回復力や半導体不足による適用できる能力と言えます。
      供給側以外に需要側や価値の面、つまり、サプライチェーンやデマンドチェーン、バリューチェーンの「鎖」の部分に着目し、常日頃から鎖を切らないよう、データ交換や情報交換など「つながり力」によるレジリエンスを養っておく必要がある
    }

    \vspace{2mm}
    %\begin{center}
    \begin{flushleft}
      \begin{minipage}[h]{0.9999\linewidth}
        \includegraphics[width=10cm,height=3cm]{Figure/10.png}
      \end{minipage}
    \end{flushleft}
    %\end{center}
    \begin{center}
      %図$6$\ \ モデルの定式化
    \end{center}
    \vspace{2mm}


    %----------------------------
    \vspace{5mm}
    {\normalsize{\bf {2.2\ \ 安全在庫と未達率}}}
    \vspace{2mm}
    %----------------------------
    \bfseries{

      安全在庫とは、欠品を防ぐために最低限必要な在庫量のことです。安全在庫は、企業や事業の利益を最大化するために必要な「適正在庫」を決定する要素のひとつ。安全在庫の量が決まると、適正在庫の下限となる量が決定します。

      在庫の下限量を維持するよう努めれば、無駄な在庫を抱え込むことがなくなります。また、在庫が不足するリスクもなくなり、求められる商品を求める人に確実に届けられるようになるでしょう。余剰在庫によるキャッシュフローの悪化も防げます。

      安全在庫の維持によって、在庫が足りずに欠品してしまうリスクがなくなります。欠品が増えると、「本来は売れるはずだった」商品が販売できなくなってしまい、せっかくの販売機会を逃してしまいます。常に在庫がある状態をキープすることで、商品や製品を求める顧客にいつでも販売できるようになるのです。

      達成率とは，目標に対してどの程度達成できたか、という度合い．
      ．．．未達率
      \vspace{150mm}}

    \vspace{150mm}


    %----------------------------
    \vspace{5mm}
    {\normalsize{\bf {2.3\ \ Sharpley値の二次形式による解法}}}
    \vspace{2mm}
    %----------------------------
    \bfseries{

      % Motivated by the need of a theory that would predict a unique expected payoff allocation for every given coalitional game, the concept of Shapley value, as a solution concept in cooperative game theory, was proposed in \cite{ref9}. It considers the relative importance of each player to the game in deciding the payoff to be allocated to the players and is formally represented as

      協力ゲーム理論の解となる概念として，Shapley値という概念が提案された．Shapley値とは，ゲームにおける各プレイヤーの相対的な重要性を考慮して，プレイヤーに割り当てるべき利得を決定するもので，形式的には
      \begin{eqnarray}
        \begin{split}
          \Phi_{i}(N,v) & = \displaystyle\sum_{\mathcal{S} \subset N - \{i \}} \frac{|S|!(|N|! - |S|!-1)!}{|N|!} \\
          & \cdot \{v(S \cup \{i \}) - v(S)\}
        \end{split}
        \label{eqn:S1}
      \end{eqnarray}
      % where, $N$ denotes the set of players and $S$ represents the coalition under study.
      ここで，$N$はプレイヤーの集合を表し，$S$は研究対象の部分集合を表す。

      % The theory of this approach assents on the following properties:
      この手法の理論は，以下のような性質をもつ．
      \medskip
      \begin{itemize}
        % \item{} Efficiency (Group rationality): players distribute among themselves the resources available to the grand coalition:
        \item {} 効率性 (集団合理性): プレイヤーは，集合が利用できる資源をプレイヤー間で分配する．

              $\displaystyle\sum_{\dot\imath=1}^n \Phi_{\dot\imath}(N,v) = v(N)$
              \medskip

        % \item{} Individual fairness (Individual rationality): every player gets at least as much as he would have received without cooperation:
        \item{} 個人の公平性 (個人の合理性): すべてのプレイヤーが，協力しなかった場合に得られたであろう量と，少なくとも同じ量を得る．

              $\Phi_{\dot\imath}(N,v) \geq v( \{ \dot\imath \})$, $\forall {\dot\imath} \in \{1,2, \dotsi, n \}$.
              \medskip
        % \item{} Symmetry: if two players $i$ and $j$ are equivalent then
        \item{} 対称性: 2人のプレイヤー$i$と$j$が等価である場合には，

              $\Phi_{\dot\imath}(N,v)=\Phi_{\dot\jmath}(N,v)$.
              \medskip
        % \item{} Additivity: if $v_1$ and $v_2$ are two games, then 
        \item{} 加法性: $v_1$と$v_2$が2つのゲームならば，

              $\Phi_{\dot\imath}(v_1 + v_2) = \Phi_{\dot\imath}(v_1) + \Phi_{\dot\imath}(v_2)$.
              \medskip
        % \item{} Null player:
        \item{} プレイヤーがnullな場合，
              $v(\emptyset)= 0$
      \end{itemize}

      \vspace{20mm}

      % In their paper, \cite{ref11} proved Shapley value to be a least square value (LS) with its weight function $M_{n,s}$ defined by
      従来研究では，Shapley値はその重み関数$M_{n,s}$が次のように定義される最小二乗値(LS)であることが証明されている．
      \begin{equation}
        \label{eqmSh}
        M_{n,s} = \frac{1}{n-1}{n-2 \choose s-1}^{-1}
      \end{equation}
      % where $s$ denotes the cardinality of any coalition $S$, and $n$ the number of players in the game.

      ここで，$s$は任意の部分集合$S$の要素を表し，$n$はゲームのプレイヤーの数を表す．

      %To avoid failures on \textcolor{red}{LS}-value to verify individual rationality property, the set of feasible allocations is restricted to the imputation set. %\textcolor{red}{Hence,} the problem to solve is defined as follows \textcolor{red}{according to} \cite{ref12}:
      %\begin{equation}
      %\label{Prob3}
      %\begin{aligned}
      %    { \text{Minimize }}   & \displaystyle\sum_{S \subset N}\Big(e(S,x) - \bar{e}(v)\Big)^{2}m(s) \\ 
      %    \text{s.t. } & \displaystyle\sum_{\dot\imath \in N} x_{\dot\imath} = v(N) \\
      %     & x_{\dot\imath} \geq v(\dot\imath), \hspace{.4em} (\forall \hspace{.2em} \dot\imath \in N) \\
      %  \end{aligned}
      %\end{equation} 
      %with $m(s) = M_{n,s}$ as defined previously in $\eqref{eqmSh}$; $e(S,x)=v(S)-x(S)$, the \textcolor{red}{excess} of $S$ on payoff vector $\mathit{x} \in \mathbb{\textcolor{red}{R}}^n$, denotes the total gain (loss, if negative) that members of $S$ will have if they depart from $\mathit{x}$ and form their own coalition. Moreover, $\bar{e}(v)=\bar{e}(v,x)$ defines the \textcolor{red}{average excess} at $\mathit{x}$. \textcolor{red}{This average excess is the same for any efficient payoff vector $x$ therefore, the equality holds.  $\bar{e}(v,x)$ is computed by employing the following expression:}
      %\begin{equation}
      %\label{eqAvExcess}
      %\bar{e}(v,x)=\frac{1}{2^n - 1}\displaystyle\sum_{S \subset N} e(S,x).
      %\end{equation}
      % % $\eqref{eqn:S1}$, then we extend this model to $\eqref{eqQP2}$ by adding new constraints obeying a certain rule of choices; a second model $\eqref{eqkey}$ which we also call parametric model is also considered. The efficiency of this three model is demonstrated by a numerical example in the next section. 
      %%finally, as well inserting a parameter $w_{\dot\imath}$ to denote the penalty of the individual rationality regarding risk.
      %\begin{definition}[\cite{ref12}]
      %A value $\zeta\colon G_N \rightarrow \Re^{n}$ belongs to the Individual Rational Least Square Family (IRLS family) when there exists a weight function $m$ such that, for all $v \in G_N$, $\zeta(v)$ is the solution of Model $\eqref{Prob3}$ with weight function $m$.
      %\end{definition}
      %Model $\eqref{Prob3}$ is equivalent to:

      \textbf{Model 1} (\textbf{Shapley value})
      \begin{equation}
        \label{eqQP1}
        \begin{aligned}
          {\text{min} } & \displaystyle\sum_{s \subset N} \Big( v(S) - x(S)\Big)^2 m(s)                             \\
          \text{s.t. }  & \displaystyle\sum_{\dot\imath \in N} x_{\dot\imath} = v(N)                                \\
                        & x_{\dot\imath} \geq v(\dot\imath), \hspace{.4em} (\forall \hspace{.2em} \dot\imath \in N) \\
        \end{aligned}
      \end{equation}

      % where, $m(s) = M_{n,s}$ is the weight function, $x$ a payoff vector and $x(S)=\displaystyle\sum_{\dot{\imath} \in S} x_{\dot{\imath}}$ for any coalition $S$. As demonstrated in \cite{ref11,ref12}, Eq. $\eqref{eqQP1}$ is equivalent to Eq. , but in QP form with individual rationality and group rationality as constraints.

      ここで，$m(s) = M_{n,s}$は重み関数，$x$は利得ベクトル，$x(S)=\displaystyle\sum_{\dot{\imath} \in S} x_{\dot{\imath}}$は任意の部分集合$S$に対するものである．レネ先生論文[参考(11,12)]より，$\eqref{eqQP1}$はEqと置くことができる．しかし，個人の合理性と集団の合理性を制約条件とするQP形式であることがわかる．
    }


    %----------------------------
    \vspace{2mm}
    %----------------------------

    \vspace{5mm}

    {\large{\bf {3\ \ リスク評価指標と適正な配分}}}

    %----------------------------
    \vspace{5mm}
    {\normalsize{\bf {3.1\ \  リスク評価尺度の導入}}}
    \vspace{2mm}
    %----------------------------
    \bfseries{

      % Risk measure is a procedure for shaping a loss distribution, for instance an investor's risk profile. In conformity with \cite{ref2}, value-at-risk (VaR) and average value-at-risk (AVaR) are among the few risk measure approaches most accepted by practitioners. If the confidence level is equal both approaches have a close correspondence however, when dealing with optimization applications AVaR is superior to VaR.

      リスク計測とは，例えば投資家のリスク分析のような損失分布を形成するための手順である．[2]に準拠すると，バリュー・アット・リスク（VaR）とアベレージ・バリュー・アット・リスク（AVaR）は、実務家に最も受け入れられている数少ないリスク指標の手法である．信頼度が同じであれば、両手法はほぼ一致しますが、最適化アプリケーションを扱う場合には、AVaRがVaRよりも優れています。

      % Let $X$ be a loss random variable with the cumulative distribution function
      累積分布関数を持つ損失確率変数を$X$とすると

      ${F_x (z)}=P\{ X \geq z \}$.
      %\begin{definition}[\textbf{VaR}]
      % The Value-at-risk of $X$ with confidence level $\alpha \in (0,1)$ is given by
      信頼度$\alpha \in (0,1)$の$X$のVaRは次のように与えられる．

      \begin{equation}
        \label{eqt1}
        VaR_{1 - \alpha} (X) = min \{z \colon F_{x}(z) \geq \alpha \}
        %VaR_{1 - \alpha}(X) = min⁡ \{ z \colon F_{x}(z) \geq \alpha \}
      \end{equation}
      % i.e., $VaR_{1- \alpha} (X)$ is a lower ${ \alpha}$-percentile of $X$ and is proportional to the standard deviation if ${X}$ is normally distributed, that is, $X \sim N(\mu, \sigma^2)$ then,

      すなわち，$VaR_{1- \alpha} (X)$は$X$の下位${ \alpha}$パーセンタイルであり，${X}$が正規分布の場合は標準偏差に比例する．つまり，$X \sim N(\mu, \sigma^2)$では，

      \begin{equation}
        \label{eqt2}
        F_{\alpha} (X)=F_{x}^{-1}(\alpha)= \mu+k(\alpha) \sigma,
      \end{equation}
      % where
      ここで，
      %\end{definition}

      \begin{equation}
        k(\alpha)= \sqrt{2} \text{erf}^{-1} (2 \alpha -1)
      \end{equation}
      ${\mathit and}$

      \begin{equation}
        \text {erf}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\displaystyle\int_0^z \mathrm{e}^{-x^2}\, dt.
      \end{equation}
      VaR$_\alpha(X)$ is a nonconvex and discontinuous function of the confidence level $\alpha$ for discrete distributions; non-subadditive and has several extrema for discrete which makes it to be difficult to control or optimize for nonnormal distributions \cite{ref2}.
      VaR$_\alpha(X)$は，離散的な分布に対する信頼度$\alpha$の非凸かつ連続な関数である：非劣等生で、離散的にいくつかの極値を持つため、非正規分布の制御や最適化が難しいと言われている。

      %\begin{definition}[\textbf{AVaR}]
      The {average} value-at-risk of $X$ equals the conditional expectation of $X$ subject to $X \geq VaR_{1 - \alpha} (X)$ for random variables with continuous distribution. Formally it is defined by Eq. $\eqref{eqt3}$ as follows.

      $X$のVaRは，連続的な分布をもつ確率変数に対して，
      \begin{equation}
        \label{eqt3}
        AVaR_{1 - \alpha}(X)=\{ \mathrm{E[X]}, \hspace{1.5mm} s. t. \hspace{1.5mm} \mathrm{X} \geq \mathrm{VaR}_{1 - \alpha}(X) \}
      \end{equation}
      The AVaR of $X$ with $\alpha \in (0,1)$ is the mean of the generalized  $\alpha$-tail distribution:
      \begin{equation}
        \label{eqt4}
        AVaR_{1-\alpha} (X)=\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty}  \mathrm{z}\ dF_x^\alpha (z)
      \end{equation}
      where
      %\end{definition}
      \begin{equation}
        \label{eqt5}
        F_x^\alpha(z) =
        \begin{cases}
          0,                                  & \text{for } z < VaR_{1-\alpha} (X)
          \\
          \frac {F_x (z) - \alpha}{1-\alpha}, & \text{for } z \geq VaR_{1 - \alpha}(X)
        \end{cases}
      \end{equation}
      AVaR$_{1 - \alpha} (X)$ is not equal to an average of outcomes greater than VaR$_{1 - \alpha} (X)$.
      \vspace{150mm}}

    \vspace{200mm}

    %----------------------------
    \vspace{3mm}
    {\normalsize{\bf {3.2\ \ Shapley値による期ごとへの配分}}}
    \vspace{2mm}
    %----------------------------
    \bfseries{

      The characteristic function $v(S)$ for any member of $S$ is equal to $AVaR_{(1-\alpha)}$, and can be computed by using Eq. $\eqref{eqt17}$ defined as follows.
      \begin{equation}
        \label{eqt17}
        \begin{split}
          v(S) & = AVaR(S)_{(1-\alpha)} = \displaystyle\sum_{\dot\imath \in S} d_{\dot\imath} \\
          & + \displaystyle\sum_{i \in S}\sum_{\dot\jmath \in S} \sigma_{\dot\imath \dot\jmath} \frac{\vartheta(z_{1-\alpha})}{1- \Phi(z_{1-\alpha})}
        \end{split}
      \end{equation}
      where,
      \begin{equation}
        \label{eqt18}
        z_{1-\alpha} = \frac{VaR_{D}(1-\alpha) - \displaystyle\sum_{\dot\imath \in S} d_{\dot\imath}}{\sqrt{\displaystyle\sum_{{\dot\imath} \in S}\sum_{\dot\jmath \in S} \sigma_{\dot\imath \dot\jmath}}}
      \end{equation}
      Here, $\vartheta$ is the standard normal density; $\Phi$ denotes the cumulative function and $\sigma_{\dot\imath \dot\jmath}$ the elements of the covariance matrix $\Sigma$ as shown in $\eqref{covmatr}$ .

      This typical characteristic function is subadditive \cite{ref3}, that is, given $S, T \subset N$ such that $S \cap T= \emptyset$,
      \begin{eqnarray}
        v(S \cup T) \leq v(S) + v(T).
        \label{Supad}
      \end{eqnarray}
      Thus, $v(S)$ is negative, as well as Shapley value in order to satisfy superadditivity.
      \vspace{150mm}}

    %----------------------------
    \vspace{2mm}
    %----------------------------

    \vspace{5mm}

    ------------
    {\large{\bf {4\ \ 提案システムの概要}}}
    \vspace{5mm}
    -------------
    \bfseries{

      \vspace{150mm}}
    \vspace{5mm}

    ------------
    {\large{\bf {5\ \ 数値実験並びに考察}}}
    \vspace{300mm}
    -------------

    -----------------------
    \vspace{5mm}
    {\large{\bf {6\ \ おわりに}}}
    \vspace{150mm}
    ------------------------

    ---------------------------
    \vspace{2mm}
    {\large{\bf {参考文献}}}
    -------------------------
    \vspace{-5mm}
    \begin{enumerate}
      \begin{footnotesize}
        \item 岩倉成志, 西脇正倫, 安藤章 ``長距離トリップに伴う運転ストレスの測定-AHSの便益計測を念頭に-''
        \item 櫻井美咲, 矢島邦昭, "生体情報による計測・分析システムの検討-コンピュータベース学習環境において-", 情報処理学会 Vol. 2016-7-A1-4 2017/3/7.
        \item 江崎菜々, ``アンビエントコンピューティングによる行動とストレスの検知にもとづくコーピング支援", 富山県立大学学位論文2021
      \end{footnotesize}
    \end{enumerate}

  \end{multicols}
  %\end{normalsize}
  %\end{footnotesize}
\end{small}
\end{document}