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#author("2024-10-16T03:40:21+02:00","","")
[[柴原]]
#author("2024-11-01T03:16:00+01:00","","")
[[中山]]

この部分では、ハイブリッド動的システム Σ の定義と、PSO（Particle Swarm Optimization）とニューラルネットワークの統合について説明しています。以下に、主要なポイントを解説します。

ハイブリッド動的システムの定義
システムの構成要素:

**位置の方程式:** [#xdde15cc]
X˙ = V  
ここで、X˙ は位置の時間変化を表し、速度 V に等しいことを示します。

**速度の方程式:** [#ce79dfc5]
V˙ = −αV + Z  
この方程式では、速度が減衰しながら、Z という力によって変化します。

**力 Z:** [#z256b5f7]
Z = β(X_db − X) + γ(X_gb * T − X)  
Z は自己ベスト X_db とグローバルベスト X_gb への引力を示します。ここで、β と γ はそれぞれの引力に対する重みを表すパラメータです。

**新しい力の時間変化:** [#w00e150e]
Z˙ = β(X˙_db − X˙) + γ(X˙_gb * T − X˙) + δ(X˙_μ)  
ここで、δ(X˙_μ) はニューラルネットワークからの新たなダイナミクスを表します。

自己ベストとグローバルベストの更新

**自己ベストの更新:** [#k3c3420a]
X˙_db = a(X − X_db)[I_n + diag[sgn(F(X_gb) − F(X))]]  
これは、自己ベストの位置を更新する式であり、現在の位置 X と自己ベスト X_db の差に基づいています。

**グローバルベストの更新:** [#w6c29b20]
X˙_gb = X_db Q_j where j = arg inf 0 < i ≤ n (f(x_db_i))  
グローバルベスト X_gb は、自己ベストの中で最も良いものに基づいています。

ニューラルネットワークのダイナミクス
ニューラルネットワークのダイナミクスは、次のように定義されています：

Σi=1n x˙_μi = −C  
ここで、x˙_μi はニューラルネットワークの各ユニットの状態の時間変化を示します。

各ユニットの状態の変化は次のように表されます：
x˙_i = −a x_i(t) + z_i(t)  
z_i(t) は外部からの入力を表し、ϕ(x_i(t)) は活性化関数です。

出力の変化も定義されており、次のようになります：
y_i(t) = ϕ(x_i(t))

∂ϕ(x(t))∂f(y_i(t))∂y_i∂x_i = z˙_i(t)

まとめ
このハイブリッド動的システムのアプローチは、PSOとニューラルネットワークを統合し、粒子の動きや自己ベスト・グローバルベストの更新をより効率的に行うためのフレームワークを提供します。ニューラルネットワークによるダイナミクスは、学習の過程を強化し、PSOの最適化能力を向上させることが期待されます。これにより、より高度な最適化が可能になるでしょう。